高一人教版数学必修一知识点整理

　　【导语】不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼，不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。不要让追求之舟停泊在幻想的港湾，而应扬起奋斗的风帆，驶向现实生活的大海。免费学习网高一频道为正在拼搏的你整理了《高一人教版数学必修一知识点整理》，希望对你有帮助！

　　【一】

　　一、集合有关概念

　　1.集合的含义

　　2.集合的中元素的三个特性：

　　1元素的确定性,

　　2元素的互异性,

　　3元素的无序性,

　　3.集合的表示：…如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋

　　1用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5

　　2集合的表示方法：列举法与描述法。

　　注意：常用数集及其记法：

　　非负整数集即自然数集记作：N

　　正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

　　1列举法：a,b,c……

　　2描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR|x-3>2,x|x-3>2

　　3语言描述法：例：不是直角三角形的三角形

　　4Venn图:

　　4、集合的分类：

　　1有限集含有有限个元素的集合

　　2无限集含有无限个元素的集合

　　3空集不含任何元素的集合例：x|x2=-5｝

　　二、集合间的基本关系

　　1.“包含”关系—子集

　　注意：有两种可能1A是B的一部分，;2A与B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

　　2.“相等”关系：A=B5≥5，且5≤5，则5=5

　　实例：设A=x|x2-1=0B=-1,1“元素相同则两集合相等”

　　即：①任何一个集合是它本身的子集。AA

　　②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB或BA

　　③如果AB,BC,那么AC

　　④如果AB同时BA那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

　　三、集合的运算

　　运算类型交集并集补集

　　定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB读作‘A交B’，即AB=x|xA，且xB｝.

　　由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：AB读作‘A并B’，即AB=x|xA，或xB.

　　设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集或余集

　　例题：

　　1.下列四组对象，能构成集合的是

　　A某班所有高个子的学生B的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数

　　2.集合a，b，c的真子集共有个

　　3.若集合M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x≥0，则M与N的关系是.

　　4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是

　　5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，

　　两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

　　6.用描述法表示图中阴影部分的点含边界上的点组成的集合M=.

　　7.已知集合A=x|x2+2x-8=0,B=x|x2-5x+6=0,C=x|x2-mx+m2-19=0,若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

　　二、函数的有关概念

　　1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=fx，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合fx|x∈A叫做函数的值域.

　　注意：

　　1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

　　求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

　　1分式的分母不等于零;

　　2偶次方根的被开方数不小于零;

　　3对数式的真数必须大于零;

　　4指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

　　5如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

　　6指数为零底不可以等于零，

　　7实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

　　相同函数的判断方法：①表达式相同与表示自变量和函数值的字母无关;②定义域一致两点必须同时具备

　　见课本21页相关例2

　　2.值域:先考虑其定义域

　　1观察法

　　2配方法

　　3代换法

　　3.函数图象知识归纳

　　1定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx,x∈A中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点Px，y的集合C，叫做函数y=fx,x∈A的图象.C上每一点的坐标x，y均满足函数关系y=fx，反过来，以满足y=fx的每一组有序实数对x、y为坐标的点x，y，均在C上.

　　2画法

　　A、描点法：

　　B、图象变换法

　　常用变换方法有三种

　　1平移变换

　　2伸缩变换

　　3对称变换

　　4.区间的概念

　　1区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

　　2无穷区间

　　3区间的数轴表示.

　　5.映射

　　一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作f：A→B

　　6.分段函数

　　1在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

　　2各部分的自变量的取值情况.

　　3分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.

　　补充：复合函数

　　如果y=fuu∈M,u=gxx∈A,则y=f[gx]=Fxx∈A称为f、g的复合函数。

　　二.函数的性质

　　1.函数的单调性局部性质

　　1增函数

　　设函数y=fx的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

　　如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1fx2，那么就说fx在这个区间上是减函数.区间D称为y=fx的单调减区间.

　　注意：函数的单调性是函数的局部性质;

　　2图象的特点

　　如果函数y=fx在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=fx在这一区间上具有严格的单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

　　3.函数单调区间与单调性的判定方法

　　A定义法：

　　○1任取x1，x2∈D，且x1

　　○2作差fx1-fx2;

　　○3变形通常是因式分解和配方;

　　○4定号即判断差fx1-fx2的正负;

　　○5下结论指出函数fx在给定的区间D上的单调性.

　　B图象法从图象上看升降

　　C复合函数的单调性

　　复合函数f[gx]的单调性与构成它的函数u=gx，y=fu的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

　　注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

　　8.函数的奇偶性整体性质

　　1偶函数

　　一般地，对于函数fx的定义域内的任意一个x，都有f-x=fx，那么fx就叫做偶函数.

　　2.奇函数

　　一般地，对于函数fx的定义域内的任意一个x，都有f-x=—fx，那么fx就叫做奇函数.

　　3具有奇偶性的函数的图象的特征

　　偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

　　利用定义判断函数奇偶性的步骤：

　　○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;

　　○2确定f-x与fx的关系;

　　○3作出相应结论：若f-x=fx或f-x-fx=0，则fx是偶函数;若f-x=-fx或f-x+fx=0，则fx是奇函数.

　　2由f-x±fx=0或fx/f-x=±1来判定;

　　3利用定理，或借助函数的图象判定.

　　9、函数的解析表达式

　　1.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

　　2求函数的解析式的主要方法有：

　　1凑配法

　　2待定系数法

　　3换元法

　　4消参法

　　10.函数小值定义见课本p36页

　　○1利用二次函数的性质配方法求函数的小值

　　○2利用图象求函数的小值

　　○3利用函数单调性的判断函数的小值：

　　如果函数y=fx在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=fx在x=b处有值fb;

　　如果函数y=fx在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=fx在x=b处有最小值fb;

　　例题：

　　1.求下列函数的定义域：

　　⑴⑵

　　2.设函数的定义域为，则函数的定义域为__

　　3.若函数的定义域为，则函数的定义域是

　　4.函数，若，则=

　　6.已知函数，求函数，的解析式

　　7.已知函数满足，则=。

　　8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=

　　在R上的解析式为

　　9.求下列函数的单调区间：

　　⑴2

　　10.判断函数的单调性并证明你的结论.

　　11.设函数判断它的奇偶性并且求证

　　【二】

　　1、函数零点的定义

　　1对于函数xfy，我们把方程0xf的实数根叫做函数xfy的零点。

　　2方程0xf有实根Û函数yfx的图像与x轴有交点Û函数yfx有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0xf是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0xf，所得实数根就是fx的零点3变号零点与不变号零点

　　①若函数fx在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数fx的变号零点。②若函数fx在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数fx的不变号零点。

　　③若函数fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线，则0

　　2、函数零点的判定

　　1零点存在性定理：如果函数xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线，并且有0fafb，那么，函数xfy在区间,ab内有零点，即存在,0bax，使得00xf，这个0x也就是方程0xf的根。

　　2函数xfy零点个数或方程0xf实数根的个数确定方法

　　①代数法：函数xfy的零点Û0xf的根;②几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

　　3零点个数确定

　　0xfy有2个零点Û0xf有两个不等实根;0xfy有1个零点Û0xf有两个相等实根;0xfy无零点Û0xf无实根;对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定.

　　3、二分法

　　1二分法的定义:对于在区间[,]ab上连续不断且0fafb的函数yfx,通过不断地把函数yfx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;

　　2用二分法求方程的近似解的步骤:

　　①确定区间[,]ab,验证0fafb,给定精确度e;

　　②求区间,ab的中点c;③计算fc;

　　ⅰ若0fc,则c就是函数的零点;

　　ⅱ若0fafc,则令bc此时零点0,xac;ⅲ若0fcfb,则令ac此时零点0,xcb;

　　④判断是否达到精确度e,即ab,则得到零点近似值为a或b;否则重复②至④步.